Définition

Un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel est un groupe commutatif tel que :
\[ \begin{split} (a+b)u &= au + bu \\ a(u+v) &= au + av \\ a(bu) &= (ab)u \\ 1u &= u \end{split} \]
Les éléments d'un espace vectoriel sont appelés des vecteurs. Il ne sont pas forcements des n-uplets de \(\mathbb{R}\), mais il est courant de s'y ramener.
On note souvent un espace vectoriel de la manière suivante : \((E, +, \cdot)\), avec \(E \subset \mathbb{K}\), \(+\) la loi de composition interne, et \(\cdot\) la loi de multiplication externe.

EV Produit

Soit deux espaces vectoriels, on peut les "additionner", permettant d'obtenir un nouvel espace vectoriel, comportant toutes les combinaisons linéaires des vecteurs des deux EV d'origines.
Si deux sev additionnés valent \(E\), on dit qu'ils sont complémentaires dans \(E\).
On dit que \(F\) et \(G\) sont en somme directe si \(F \cap G = \{0_E \}\). Si \(F\) et \(G\) sont et complémentaires et en somme directe, on dit qu'ils sont supplémentaires.

Sous-espace vectoriel

Soit \(F\) une partie de \(E\), si :
\[ \begin{align} 0_E &\in F \\ (x,y) \in F^2 &, \lambda x+y \in F \end{align} \]
On appel alors \(F\) un sev (sous espace vectoriel) de \(E\).
Pour généré ces SEV, on utilise des familles de vecteurs. On les écrit comme suit :
\[ Vect(x_1, x_2, x_3, ..., x_n) = \{ax_1 + bx_2 ...\} \]
Soit une famille de vecteurs de \(E\), on la dit libre si ses vecteurs sont linéairement indépendants, c'est a dire, qu'il n'existe pas de combinaisons linéaires des premiers vecteurs qui amènent au dernier. Sinon, on dit que la famille est liée.

Base

Une famille de vecteurs est appelé base si elle est a la fois génératrice et libre.
De toute famille génératrice de \(E\) on peut extraire une base, et toute famille libre peut être complétée en une base.
Soit \(n = dim(E)\), toute famille libre a \(n\) éléments est une base de \(E\), et toute famille génératrice de \(n\) éléments est une base.

Dimension

Quelques règles :

• \(dim(F \oplus G) = dim(F) + dim(G)\)
• \(dim(F+G) = dim(F)+dim(G) - dim(F \cap G)\)
• \(dim(E \times F) = dim(E) + dim(F)\)

Rang

On appel le rang du famille la dimension de l'espace vectoriel engendré par cette famille.